Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

34. y d x = y e y - 2 x d y

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y d x = y e y - 2 x d y

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

d x d y = y e y - 2 x y

d x d y + 2 x y = e y

E então tiramos que:

P y = 2 y

Q y = e y

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

x = e - ∫ 2 y d y . ∫ e ∫ 2 y d y . e y d y + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 y d y = 2 ∫ 1 y d y

E essa integral tem um resultado tabelado, que é:

2 ∫ 1 y d y = 2 ln ⁡ y

Substituindo:

x = e - 2 ln ⁡ y . ∫ e 2 ln ⁡ y . e y d y + c

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmos:

ln ⁡ x n = n . ln ⁡ x

Teremos:

x = e ln ⁡ y - 2 . ∫ e ln ⁡ y 2 . e y d y + c

Agora utilizando essa outra propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

x = 1 y 2 . ∫ y 2 . e y d y + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ y 2 . e y d y

Para resolve-la devemos utilizar o método de integração por partes. A substituição que iremos fazer será:

u = y 2 ⇒ d u = 2 y d y

d v = e y d y ⇒ v = e y

Caso não se lembre, a fórmula da integral por partes é:

u v - ∫ v d u

Substituindo, teremos:

y 2 e y - 2 ∫ y e y d y

E para essa nova integral vamos utilizar outra integração por partes. A substituição será:

u = y ⇒ d u = d y

d v = e y d y ⇒ v = e y

Substituindo:

y 2 e y - 2 y e y - ∫ e y d y

Agora sim conseguimos chegar em um resultado sólido! Nosso resultado será:

∫ y 2 . e y d y = y 2 e y - 2 y e y + 2 e y

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

x = 1 y 2 . ∫ y 2 . e y d y + c

x = 1 y 2 . y 2 e y - 2 y e y + 2 e y + c

∴ x = e y - 2 e y y + 2 e y y 2 + c y 2

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

x = e y - 2 e y y + 2 e y y 2 + c y 2

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