Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

42. y ' = 2 y + x e 3 x - e 2 x , no qual y 0 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y ' = 2 y + x e 3 x - e 2 x

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

d y d x - 2 y = x e 3 x - e 2 x

E então tiramos que:

P x = - 2

Q x = x e 3 x - e 2 x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e ∫ 2 d x . ∫ e - ∫ 2 d x . x e 3 x - e 2 x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 d x = 2 x

Substituindo:

y = e 2 x . ∫ e - 2 x . x e 3 x - e 2 x d x + c

Simplificando, teremos:

y = e 2 x . ∫ x e x - 1 d x + c

y = e 2 x . ∫ x e x d x - ∫ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essas últimas integrais que apareceram aí para complicar nossa vida. A primeira integral é:

∫ x e x d x

Para resolve-la devemos aplicar o método de integração por partes, ok? A substituição que iremos fazer será:

u = x ⇒ d u = d x

d v = e x d x ⇒ v = e x

Caso você não se lembre, a fórmula da integração por partes é essa aqui ó:

u v - ∫ v d u

Substituindo o que temos:

x e x - ∫ e x d x = x e x - e x

Ok, primeira integral resolvida.

Passo 5

A segunda integral é:

∫ x d x

O resultado dessa integral é beeem tranquilo, saca só:

∫ x d x = x 2 2

Ok, segunda integral resolvida! Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e 2 x . ∫ x e x d x - ∫ x d x + c

y = e 2 x . x e x - e x - x 2 2 + c

y = x e 3 x - e 3 x - e 2 x x 2 2 + c e 2 x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 0 = 2 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

2 = 0 - e 0 - 0 + c e 0

2 = - 1 + c

∴ c = 3

E então o resultado final mesmo será esse:

y = x e 3 x - e 3 x - e 2 x x 2 2 + 3 e 2 x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = x e 3 x - e 3 x - e 2 x x 2 2 + 3 e 2 x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva a equação diferencial. x y ' + y = x
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3 y '
Resolva a equação diferencial. y ' = x y e x 2
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2  
Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos (C) e raposas (R).Descreva como cada população muda com o passar do tempo.Use sua descrição para fazer um esboço gro...
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações d P d t = 2 P - 0,01 P J d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significa...