Enunciado

Nos problemas 23-26, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 ;     y 1 = 1 ,     y ' 1 = 2

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + x m x m - 1 + x m = 0

m 2 x m - m x m + m x m + x m = 0

x m m 2 + 1 = 0

Daqui a gente tem que m 2 + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 1 = 0

m 1 = i

m 2 = - i

Temos duas raízes complexas, então a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

  y 1 = 1 ,     y ' 1 = 2

Usando a primeira:

y = c 1 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

y 1 = c 1 = 1

E derivando y , temos:

y ' =   - c 1 x sen ⁡ ln ⁡ x + c 2 x cos ⁡ ( ln ⁡ x )

Substituindo a segunda condição:

y ' ( 1 ) =   - c 1 sen ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 2

c 2 = 2

A solução do nosso PVI então é:

y = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

Resposta

y = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

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