Enunciado

Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = v y transforma a equação em uma com variáveis separáveis.

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos lá, a gente tem essa equação homogênea aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

A gente vai usar a substituição x = v y para transformar numa equação separável.

Bom, se x = v y , temos:

d x = v   d y + y   d v

Agora a gente vai substituir isso na equação e desenvolver...

Passo 2

Substituindo aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

M x , y v   d y + y   d v + N x , y d y = 0

M x , y v d y + M x , y y   d v + N x , y d y = 0

d y M x , y v + N x , y = - M x , y y   d v

d y y = - M x , y M x , y v + N x , y   d v

d y y + M x , y M x , y v + N x , y   d v = 0

E prontinho! Chegamos a uma equação separável, como queríamos demonstrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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