Enunciado

Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ x   e   potências de x .

J - 5 2 ( x )

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, pelo Problema 21, nós temos:

- 3   J - 3 2 x = x   J - 1 2 x + x   J - 5 2 ( x )

J 5 2 x = - 3 x   J - 3 2 x - J - 1 2 ( x )

Beleza, agora segundo questão 27:

J - 1 2 x = 2 π x cos ⁡ x    

Passo 2

E achamos no exercício 29 que:

J - 3 2 x = - 2 π x cos ⁡ x x + sen ⁡ x

Então...

- 3 x   J - 3 2 x = 3 x 2 π x cos ⁡ x x + sen ⁡ x

E substituindo na relação que a gente precisa...

J - 5 2 x = 3 x 2 π x cos ⁡ x x + sen ⁡ x - 2 π x cos ⁡ x

J - 5 2 x = 2 π x 3 cos ⁡ x x 2 - 3 sen ⁡ x x - cos ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

J - 5 2 x = 2 π x 3 cos ⁡ x x 2 - 3 sen ⁡ x x - cos ⁡ x

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Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 + 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x - n J n ( x )
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Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x n J n ( x )
Nos problemas 13-18, use os resultados dos Problemas 10,11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em 0 ,∞ . x y ' ' + 3 y ' + x y = 0