Enunciado

Verifique que a equação diferencial

x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0 ,   x > 0

Possui a solução particular y = x n J n ( x )

Passo 1

Vamos lá

Temos que fazer y = x n J n ( x ) na equação:

x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0

Mas antes vamos encontrar y ' e y ' ' derivando x n J n ( x ) ok?

Vamos ter

y ' = x n J n ' + n x n - 1 J n

E:

y ' ' = x n J n ' ' + 2 n x n - 1 J n ' + n n - 1 x n - 2 J n

Agora sim, vamos substituir isso na nossa equação

Passo 2

Nossa equação vai ficar assim:

x n + 1 J n ' ' + 2 n x n J n ' + n n - 1 x n - 1 J n + 1 - 2 n x n J n ' + n x n - 1 J n + x n + 1 J n = 0

x n + 1 x 2 J n ' ' + x J n ' - n 2 J n + x 2 J n = 0

x n + 1 x 2 J n ' ' + x J n ' + x 2 - n 2 J n = 0

Sendo J n uma solução da equação de Bessel, temos

x n + 1 . 0 = 0

0 = 0

Igualdade verdadeira!! Então, realmente y = x n J n ( x ) é uma solução

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação de Laplace uxx + uyy = 0 no paralelogramo cujos vértices são (0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2). Suponha que a condição de contorno no lado y = 2 é u(x, 2) = f(x) para 1 ≤ x ≤ 3 e que
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + x y ' + 9 x 2 - 4 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + x y ' + 36 x 2 - 1 4 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . 16 x 2 y ' ' + 16 x y ' + 16 x 2 - 1 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x y ' ' + y ' + x y = 0