Enunciado

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x + y e y x d x - x e y x d y = 0 ;     y 1 = 0

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x + y e y x d x - x e y x d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x + u x e u d x - x e u u   d x + x   d u = 0

x   d x + u x e u d x - x u e u d x - x 2 e u d u = 0

d x - x e u d u = 0

d x = x e u d u

d x x = e u d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ e u d u

ln ⁡ | x | = e u + C

ln ⁡ | x | - e u = C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ x - e y x = C

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 0 , então vamos substituir isso na equação:

ln ⁡ x - e y x = C

ln ⁡ | 1 | - e 0 1 = C

0 - e 0 = C

- 1 = C

Então a solução do problema de valor inicial é:

ln ⁡ x - e y x = - 1

Prontinho! 😉

Resposta

ln ⁡ x - e y x = - 1

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