Enunciado

Nos problemas 33-40 encontre funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador diferencial dado.

D 2 + 4 D

Passo 1

Bora lá? Temos que encontrar alguns exemplos de funções que sejam anuladas pelo operador dado. Para isso, vamos lembrar das táticas que vimos nessa seção do seu livro:

1 - O operador D n anula funções do tipo x n - 1

2 - O operador D - α n anula funções do tipo x n - 1 . e α x

3 - O operador [ D 2 - 2 α D + α 2 + β 2 n anula x n - 1 . e α x . c o s ⁡ ( β x ) e x n - 1 . e α x . s e n ⁡ ( β x )

E se eu tiver uma função do tipo 1 somada com outra do tipo 3??

Aí o operador é a multiplicação entre esses respectivos operadores hehehe

Então agora sim, vamos lá!!

Passo 2

Temos o operador D 2 + 4 D , que podemos fatorar assim:

D . ( D + 4 )

O primeiro operador é D , que se assemelha muito ao caso 1 e podemos, então, pegar a função 1 , que é anulada por esse operador D

O segundo operador cai no caso 2, com α = - 4 e n = 1 , então podemos pegar a função

x 1 - 1 . e - 4 x

e - 4 x

Portanto, a função anulada pelo operador dado é 1 + e - 4 x

(também poderia ser qualquer função no formato c + k . e - 4 x , com c e k constantes)

Sacou? Vamos lá pros próximos!!

Resposta

1 + e - 4 x

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Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 3 + 4 D
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. 2 D 2 - 3 D - 2
Nos problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada. 2 D - 1 ,y = 4 e x 2
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 4 - 8 D 2 + 16
Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada 13 x + 9 x 2 - s e n ( 4 x )