Enunciado

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração

( x 2 + 2 x y - y ² ) d x + ( y 2 + 2 x y - x ² ) d y = 0 ,             μ x , y = x + y - 2

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E agora a definição de fator de integração:

Se tivermos uma equação diferencial não exata e multiplicarmos ela por um fator de integração μ x , y , a equação deve se tornar exata.

Então, nesse problema vamos fazer o seguinte:

- Primeiro vamos multiplicar toda a equação pelo fator de integração μ x , y

- Com isso, temos que provar que a equação diferencial é exata, mostrando que μ x , y é um fator de integração

- Depois, resolvemos a equação diferencial exata :)

Vamos lá!

Passo 2

Verificando o fator de integração

Temos a equação ( x 2 + 2 x y - y ² ) d x + ( y 2 + 2 x y - x ² ) d y = 0 , vamos multiplicar todos os termos por μ x , y = x + y - 2 = 1 ( x + y ) ² = 1 x 2 + 2 x y + y ² , aí a nossa equação se torna:

x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² d x + y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ² d y = 0

Agora vamos verificar que a equação x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² d x + y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ² d y = 0

é exata, e aí estará provado que 1 x 2 + 2 x y + y ² é um fator de integração

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² e N x , y = y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ²

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = - 4 x y ( x + y ) ³

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ² ∂ x

∂ N ∂ x = - 4 x y ( x + y ) ³

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - 4 x y ( x + y ) ³

Logo, nossa equação é exata, então, o x   realmente é um fator de integração galerinha

Agora vamos resolver a equação e acabou hehehe

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial

Temos

x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² d x + y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ² d y = 0

Com M x , y = x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² e N x , y = y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ²

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ²

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ x 2 + 2 x y - y 2 x 2 + 2 x y + y ² d x + g y

f = x + 2 y 2 x + y + g y

Passo 5

Temos

f = x + 2 y 2 x + y + g y   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 2 y 2 + 2 x y ( x + y ) ² + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ² :

∂ f ∂ y = 2 y 2 + 2 x y ( x + y ) ² + g ' ( y ) = y 2 + 2 x y - x 2 x 2 + 2 x y + y ²

∂ f ∂ y = g ' ( y ) = y 2 + 2 x y - x 2 - 2 y 2 + 2 x y x 2 + 2 x y + y ²

Então:

g ' y = - 1

Integrando em relação a y :

g y = - y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x + 2 y 2 x + y - y

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x + 2 y 2 x + y - y = c

Resposta

x + 2 y 2 x + y - y = c

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