Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

d 4 y d x 4 - y = 0 ,       y 0 = y ' 0 = y ' ' 0 = 0 ,     y ' ' ' 0 = 1

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 - y = 0

y ' ' ' ' - y = 0

Assim:

m 4 - 1 = 0

m 4 = 1

Resolvendo a equação, encontramos 4 raízes: m = 1 , m = - 1 , m = i e m = - i

Então a solução geral fica:

y = c 1 . e 1 x + c 2 . e - x + c 3 . e i x + c 4 . e - i x

Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e 1 x + c 2 . e - x + c 3 . cos ⁡ x + c 4 . s e n ( x )

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = c 1 + c 2 + c 3

Fazendo y ' 0 = 0 :

y ' 0 = 0 = c 1 - c 2 + c 4

E agora y ' ' 0 = 0 :

y ' ' 0 = 0 = c 1 + c 2 - c 3

E por fim, y ' ' ' 0 = 1 :

y ' ' ' 0 = 1 = c 1 - c 2 - c 4

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 + c 3 = 0 c 1 - c 2 + c 4 = 0 c 1 + c 2 - c 3 = 0 c 1 - c 2 - c 4 = 1

De onde encontramos c 1 = 1 4 , c 2 = - 1 4 , c 3 = 0 e c 4 = - 1 2

Então:

y = 1 4 . e 1 x - 1 4 . e - x - 1 2 . s e n ( x )

Resposta

y = 1 4 . e 1 x - 1 4 . e - x - 1 2 . s e n ( x )

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