Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

49. x + 1 . d y d x + y = ln ⁡ x , no qual y 1 = 10 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x + 1 . d y d x + y = ln ⁡ x

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

d y d x + 1 x + 1 y = ln ⁡ x x + 1

E então tiramos que:

P x = 1 x + 1

Q x = ln ⁡ x x + 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 1 x + 1 d x . ∫ e ∫ 1 x + 1 d x . ln ⁡ x x + 1 d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

Substituindo:

y = e - ln ⁡ x + 1 . ∫ e ln ⁡ x + 1 . ln ⁡ x x + 1 d x + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = 1 x + 1 . ∫ x + 1 . ln ⁡ x x + 1 d x + c

Simplificando:

y = 1 x + 1 . ∫ ln ⁡ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ ln ⁡ x d x

O bom é que essa integral tem um resultado tabelado, galera! O valor dessa integral é:

∫ ln ⁡ x d x = x . ln ⁡ x - x

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = 1 x + 1 . ∫ ln ⁡ x d x + c

y = 1 x + 1 . x . ln ⁡ x - x + c

y = x ln ⁡ x x + 1 - x x + 1 + c x + 1

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 1 = 1 0 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

10 = 1 . ln ⁡ 1 1 + 1 - 1 1 + 1 + c 1 + 1

10 = - 1 2 + c 2

c 2 = 21 2

∴ c = 21

E então o resultado final mesmo será esse:

y = x ln ⁡ x x + 1 - x x + 1 + 21 x + 1

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = x ln ⁡ x x + 1 - x x + 1 + 21 x + 1

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Determine se a equação diferencial é linear. y ' + e x y = x 2 y 2
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Resolva a equação diferencial. y ' + 2 y = 2 e x
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e nx = x 3 y '