Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

41. d y d x + 5 y = 20 , no qual y 0 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d y d x + 5 y = 20

E então tiramos que:

P x = 5

Q x = 20

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 5 d x . 20 ∫ e ∫ 5 d x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 5 d x = 5 x

Substituindo:

y = e - 5 x . 20 ∫ e 5 x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e 5 x d x

Para resolve-la precisamos fazer uma substituição simples, saca só:

u = 5 x

d u = 5 d x

Substituindo, teremos:

1 5 ∫ e u d u = 1 5 e u

Voltando para x :

∫ e 5 x d x = 1 5 e 5 x

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e - 5 x . 20 ∫ e 5 x d x + c

y = e - 5 x . 4 e 5 x + c

y = 4 + c e - 5 x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 0 = 2 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

2 = 4 + c e 0

2 = 4 + c

∴ c = - 2

E então o resultado final mesmo será esse:

y = 4 - 2 e 5 x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 4 - 2 e 5 x

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Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva o problema de valor inicial. t d u d t = t 2 + 3 u ,   &n
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '