Resolva a equação diferencial:

(1 + x) \* y' + y = raiz(x)

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por ( 1 + x ) , pois o coeficiente de d y d x deve ser 1. Beleza?

y ' +   1 1 + x y = x 1 + x

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x = 1 1 + x   ; f x = x 1 + x

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 1 1 + x d x =   e l n ⁡ ( 1 + x ) = 1 + x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' . ( 1 + x ) +   y = x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d d x ( 1 + x ) . y = x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

( 1 + x ) . y = ∫ x d x

( 1 + x ) . y =   2 3 x 2 / 3 + c

y = 2 3 x 2 / 3 ( 1 + x ) +   c 1 + x

Resposta

y = 2 3 x 2 / 3 ( 1 + x ) +   c 1 + x

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