Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y ' =     3 x 2 / ( 3 y 2   - 4 ) , y ( 1 )   =   0

e determine o intervalo de validade da solução.

Sugestão: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição: y '   = d y d x

Assim, temos:

d y d x =   3 x 2 / ( 3 y 2   - 4 )

( 3 y 2   -   4 ) d y =   ( 3 x 2 ) d x

Passo 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ ( 3 y 2   -   4 ) d y =   ∫ ( 3 x 2 ) d x

y 3 -   4 y + c = x 3 + c '

y 3 -   4 y = x 3 + C

No enunciado há uma informação de que y ( 1 )   =   0 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y 3 -   4 y = x 3 + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

0 3 -   4   .   0 = 1 3 + C

C   = -   1

Assim, a equação é:

y 3 -   4 y = x 3   - 1  

Passo 3

Ou seja, a equação é:

y 3 -   4 y   -   x 3 + 1 = 0

Quando olhamos pra EDO, vemos que y ’ tende ao infinito, assim a função y tende a ±   2   / √ 3 , onde gera esses valores de x. Ou seja, o intervalo de validade é quando - 1,276 < x <   1 , 598

Resposta

y 3 -   4 y   -   x 3 + 1 = 0

- 1,276 < x <   1,598

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