Enunciado

Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.

y ( 4 ) - 16 y = 0 ; y = s e n 2 x + cosh ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Precisamos comprovar que y = s e n 2 x + cosh ⁡ ( 2 x ) é uma solução da equação diferencial y ( 4 ) - 16 y = 0 , onde y ( 4 ) é a derivada de quarta ordem de y .

Primeiramente, vamos substituir y por s e n 2 x + cosh ⁡ ( 2 x ) na nossa equação e verificar que a igualdade é verdadeira.

( s e n 2 x + cosh ⁡ 2 x ) ( 4 ) - 16 s e n 2 x + cosh ⁡ 2 x = 0

Ta, mas precisamos encontrar essa derivada de quarta ordem aí né?

Usando as técnicas de derivação lá de cálculo 1, sabemos que a primeira derivada de y vale:

s e n 2 x + cosh ⁡ 2 x   ' = 2 cos ⁡ 2 x + 2 s e n h ( 2 x )

Enquanto a segunda derivada vale:

2 cos ⁡ 2 x + 2 s e n h ( 2 x ) ' = - 4 s e n 2 x + 4 c o s h ⁡ ( 2 x )

A terceira derivada:

- 4 s e n 2 x + 4 c o s h ⁡ ( 2 x ) ' = - 8 cos ⁡ 2 x + 8 s e n h ( 2 x )

E por fim, a quarta derivada:

- 8 cos ⁡ 2 x + 8 s e n h 2 x ' = 16 s e n 2 x + 16 c o s h ⁡ ( 2 x )

Agora é só a gente substituir essa derivadas na equação, beleza?

Passo 2

Vamos substituir a derivada que encontramos na equação diferencial:

16 s e n 2 x + 16 c o s h ⁡ ( 2 x ) - 16 s e n 2 x + cosh ⁡ 2 x = 0

Fazendo a distributiva:

16 s e n 2 x + 16 cosh ⁡ 2 x - 16 s e n 2 x - 16 cosh ⁡ 2 x = 0

Juntando os termos:

0 = 0

Boaa, então a igualdade é verdadeira, e portanto, aquele y é solução da equação mesmo!!

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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