Enunciado

Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência ϕ n t , definida pelas equações de (4) a (7), converge.

Note que

ϕ n t = ϕ 1 t + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t .

  1. Mostre que
  2. ϕ n t ≤ | ϕ 1 t | + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t .

  3. Use os resultados do problema 17 para mostrar que
  4. ϕ n ( t ) ≤ M K K h + K h 2 2 ! + … + K h n n ! .

  5. Mostre que a soma no item (b) converge quando n → ∞ e, portanto, a soma no item (a) também converge quando n → ∞ . Conclua, então, que a sequência { ϕ n t } converge, já que é a sequência das somas parciais de uma série convergente infinita.

Passo 1

Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando somatórias para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!

Passo 2

  1. Temos a seguinte igualdade:
  2. ϕ n t = ϕ 1 t + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t

    Se aplicarmos o valor absoluto em toda equação, teremos

    ϕ n t = ϕ 1 t + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t

    Mas existe uma propriedade da desigualdade do triângulo, que nos diz que

    a + b ≤ a + b

    Aplicando isso em nossa igualdade, chegaremos que

    ϕ n t = ϕ 1 t + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t ≤

    ≤ ϕ 1 t + ϕ 2 t - ϕ 1 t + … + ϕ n t - ϕ n - 1 t

    Como queríamos mostrar.

    Passo 3

  3. Temos que para um t ≤ h , nossa expressão do exercício anterior fica
  4. ϕ 1 t ≤ M h

    e

    ϕ n t - ϕ n - 1 t ≤ M K n - 1 h n n !

    Dessa forma, podemos mudar um pouco a expressão aplicando a somatória do lado direito da desigualdade. Assim:

    ϕ n t ≤ M ∑ i = 1 n K i - 1 h i i ! = M K ∑ i = 1 n K i h i i !

    Passo 4

  5. Bom, se aplicarmos limite na equação do item (b), vamos ter que

lim n → ∞ ⁡ ϕ n t = lim n → ∞ ⁡ M K ∑ i = 1 n K i h i i !

Temos que esse limite nos dá que a série converge para M e K h - 1 K . Por comparação, chegamos que a série no item (a) também converge. Sendo assim, isso nos diz que a série é fechada e que existe uma subsequência convergente. Dessa forma, analisando os termos individuais da série, vemos que

ϕ n t - ϕ n - 1 t → 0

E isso nos diz que nossa série é convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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