Enunciado

Mostre que existem naturais m   e   n   para os quais a forma diferencial

3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y n   d y

É exata.

Passo 1

Vamos lá, temos que:

3 x m + 1 y n + 1 = P

2 x m + 2 y n = Q

Para que seja exata, a gente precisa da condição necessária:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

3 n + 1 x m + 1 y n = 2   m + 2 x m + 1 y n

Simplificando isso, temos:

3 n + 3 = 2 m + 4

3 n + 3 m + 2 = 2

Passo 2

Com essa condição, teremos uma primitiva da forma:

φ x , y = 3 m + 2 x m + 2 y n + 1  

Porque olha só:

∂ φ ∂ x = 3 x m + 1 y n + 1 e ∂ φ ∂ y = 2 x m + 2 y n

(pode fazer um check-up aí!)

Um exemplo então é n = 1   e   m = 1 . Ou seja, existem m   e   n naturais que fazem com que a diferencial seja exata😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração 6 x yd x + 4 y + 9 x 2 d y = 0 , μ x , y = y ² ²
Determine uma função n ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata: y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + yd x + N ( x , y ) d y = 0
Determine uma função M ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata: M x , y d x + x . e x y + 2 x y + 1 x d y = 0
Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração y . ( x + y + 1 ) d x + ( x + 2 y ) d y = 0 , μ x , y = e x
Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração ( x 2 + 2 x y - y ² ) d x + ( y 2 + 2 x y - x ² ) d y = 0 , μ x , y =