Enunciado

Prove:

||x| - |y|| <= |x - y|

Passo 1

Aqui temos que ||x| - |y|| <= |x - y| é uma consequência da desigualdade triangular, que diz que o módulo de uma soma é menor ou igual à soma dos módulos das parcelas. Vamos então fazer umas manipulações para pode usar a desigualdade triangular.

Primeiro nós temos que:

||x| - |y|| = |x| - |y| ou ||x| - |y|| = |y| - |x|

Vamos então fazer umas manipulações para pode usar a desigualdade triangular, temos que:

|x| = |x - y + y|

Vamos agora aplicar a desigualdade triangular aqui:

|x - y + y| <= |x - y| + |y|

Agora é só reagrupar a inequação, e pronto:

|x - y + y| <= |x - y| + |y| harr |x| <= |x - y| + |y| harr - |x - y| <= |y| - |x| harr |x - y| >= - |y| + |x| harr |x - y| >= |x| - |y| harr |x - y| >= ||x| - |y||

Pronto, está provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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