Enunciado

Resolva as inequações.

|x - 2| + |x - 1| > 1

Passo 1

Temos pela definição que:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Basicamente isso fala que para todo x , |x| >= 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Passo 2

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x <= 1 , 1 < x <= 2 e x > 2 .

Com x <= 1 temos que x - 2 < 0 e x - 1 <= 0 , assim a inequação é equivalente a:

|x - 2| + |x - 1| > 1 -> - (x - 2) + (- (x - 1)) > 1 -> - x + 2 - x + 1 > 1 -> - 2 x > 1 - 3 -> - 2 x > - 2 -> x < 1

Lembre-se que ao multiplicar uma inequação por - 1 nós invertemos o símbolo.

Como estamos supondo x <= 1 , todo x satifazendo a condição x < 1 é solução da inequação.

Passo 3

Com 1 < x <= 2 temos que x - 2 <= 0 e x - 1 > 0 , assim a inequação é equivalente a:

|x - 2| + |x - 1| > 1 > x -> - (x - 2) + (x - 1) > 1 -> - x + 2 + x - 1 > 1 -> 0 > 1 - 1 -> 0 > 0

Aqui, como estamos supondo - 2 < x <= 1 , não existe - 2 < x <= 1 que seja solução da inequação.

Passo 4

Com x > 2 temos que x - 2 > 0 e x - 1 > 0 , assim a inequação é equivalente a:

|x - 2| + |x - 1| > 1 -> x - 2 + (x - 1) > 1 -> x - 2 + x - 1 > 1 -> 2 x > 1 + 3 -> x > 2

Como estamos supondo x > 2 , todo x satifazendo a condição x > 2 é solução da inequação.

Juntando então as soluções do passo 2 e 4 vamos ter como solução x < 1 ou x > 2 .

Resposta

x < 1 ou x > 2

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