Enunciado

Use o Teorema de Pappus e o fato de que o volume de uma esfera de raio a é V = 4 3 π a 3 para mostrar que o centroide da lâmina limitada pelo eixo x e o semicírculo y = a 2 - x 2 é ( 0 ,   4 a / ( 3 π ) ) . (Esse problema foi resolvido diretamente no Exemplo 3.)

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Vamos imaginar que o nosso sólido seja a esfera, obtida pela rotação do semicírculo em torno do eixo x .

Queremos a partir dessas informações, chegar no centroide dessa lâmina. Vem comigo!

Passo 2

Essa é a nossa lâmina:

Vemos que pela simetria:

x - = 0

Passo 3

Vamos usar o teorema para achar a coordenada y - . Ele diz que:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Já temos o volume da esfera:

V = 4 3 π a 3

A área de R é a área de um semicírculo:

A R = π a 2 2

A distância percorrida pelo centroide, na rotação para a obtenção do sólido, é o comprimento de uma circunferência de raio y - , já que a rotação é em torno do eixo x . Então podemos escrever:

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π y -

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

4 3 π a 3 = π a 2 2 ⋅ 2 π y -

Isolando y - :

y - = 4 a 3 π

Provamos então que o centroide está em:

x - ,   y - = 0 , 4 a 3 π

O que foi pedido. Uhul!

Resposta

Prova nos passos

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