Enunciado

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

f x = x 3 em p = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f x = x 3 é contínua no ponto p = 2 , usando a definição de continuidade.

Para provar que f x é contínua em p = 2 temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha 2 , de modo que:

f 2 - ϵ <   f x < f 2 + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x qualquer que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x (isto é, f x ) deve estar no máximo a um ϵ de distância de f p .

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Como temos que,

f x = x 3

Substituindo na inequação, vamos ter:

f 2 - ϵ <   f x < f 2 + ϵ

Supondo f contínua em x = 2 , temos f 2 = 2 3 = 8 , ou seja:

2 3 - ϵ < x 3 < 2 3 + ϵ

8 - ϵ < x 3 < 8 + ϵ

Tirando a raiz cúbica de todos os termos, temos:

8 - ϵ 3 < x < 8 + ϵ 3

Agora temos que definir o intervalo I .

Passo 3

Assim, podemos definir o nosso intervalo I como sendo:

I = 8 - ϵ 3 , 8 + ϵ 3

De modo que 2 ∈ I . Ou seja, qualquer x que tomemos nesse intervalo obrigatoriamente implicará em:

8 - ϵ <   f x < 8 + ϵ

Como x = p = 2 pertence ao intervalo I , provamos que a função é contínua. Da até pra ver isso num gráfico, saca só:

No gráfico-exemplo, temos ϵ = 2,7 . Logo, está provado que f é contínua em p !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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