Prove a regra de L’Hôpital.

Passo 1

Certo, sabemos que pela regra de L’Hôpital, se temos uma função f(x), que existe em um ponto a, e que a derivada dessa função também existe em a. Sabemos também que existe uma função g(x), que exite em um pontoi a e que a deriada dessas função também existe em a. Logo,

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = f ' x g ' ( x )

Passo 2

Mas como podemos provar isso, né galera? Vamos lá! Sabemos pela definição de derivadas:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Então se isso funciona, vamos fazer o mesmo para a nossa g(x):

g ' a = lim x → a ⁡ g x - g a x - a

Logo, podemos afirmar que:

f ' a g ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a lim x → a ⁡ g x - g a x - a

Passo 3

Tá, isso tá feio... mas jájá vamos embelezar a nossa equação! Primeiro vamos tomar esses limites como um só:

f ' a g ' a = lim x → a ⁡     ��� f x - f a x - a   ⁡ g x - g a x - a

Multiplicando e dividindo por “x-a” :

f ' a g ' a = lim x → a ⁡     ⁡ f x - f a x - a   ⁡ g x - g a x - a * ( x - a )

f ' a g ' a = lim x → a ⁡     ⁡ f x - f ( a ) g x - g ( a )

Mas, dizemos la no começo que f(a) e g(a) tendem a 0, logo provando:

f ' a g ' a = lim x → a ⁡     ⁡ f x - f ( a ) g x - g ( a ) = lim x → a ⁡     ⁡ f x g x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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