Enunciado

Prove a regra de L’Hôpital.

Passo 1

Certo, sabemos que pela regra de L’Hôpital, se temos uma função f(x), que existe em um ponto a, e que a derivada dessa função também existe em a. Sabemos também que existe uma função g(x), que exite em um pontoi a e que a deriada dessas função também existe em a. Logo,

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g ( x )) = (f^' (x))/(g ' ( x ))

Passo 2

Mas como podemos provar isso, né galera? Vamos lá! Sabemos pela definição de derivadas:

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

Então se isso funciona, vamos fazer o mesmo para a nossa g(x):

g^' (a) = underset(x -> a)(lim) (g (x) - g (a))/(x - a)

Logo, podemos afirmar que:

(f^' (a))/(g^' (a)) = (underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a))/(underset(x -> a)(lim) (g (x) - g (a))/(x - a))

Passo 3

Tá, isso tá feio... mas jájá vamos embelezar a nossa equação! Primeiro vamos tomar esses limites como um só:

(f^' (a))/(g^' (a)) = underset(x -> a)(lim) (��� (f (x) - f (a))/(x - a))/((g (x) - g (a))/(x - a))

Multiplicando e dividindo por “x-a” :

(f^' (a))/(g^' (a)) = underset(x -> a)(lim) ((f (x) - f (a))/(x - a))/((g (x) - g (a))/(x - a)) * ( x - a )

(f^' (a))/(g^' (a)) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f ( a ))/(g (x) - g ( a ))

Mas, dizemos la no começo que f(a) e g(a) tendem a 0, logo provando:

(f^' (a))/(g^' (a)) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f ( a ))/(g (x) - g ( a )) = underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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