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A soma de dois números não negativos é 20. Diga quais serão esses números

  1. Se o produto de um número multiplicado pela raiz quadrada de outro tiver que ser o maior possível.

Passo 1

Nomeando os dois números de x e y , temos que a soma é:

x + y = 20

Passo 2

Nomeando P sendo o produto mencionado, temos que sem perda de generalidade:

P = x y

Passo 3

Do passo 1, isolaremos uma das variáveis da equação e substituíremos na equação do passo 2. Sem perda de generalidade, isolaremos a variável x .

x = 20 - y

Logo,

P = x y = ( 20 - y ) y

Passo 4

Agora, como temos P   em função apenas da variável y , iremos encontrar o valor máximo de P . Primeiramente derivamos a equação em função de y :

d P d y = d 20 - y d y y + 20 - y   d y d y

d P d y = - y + 20 - y 1 2 y = - 2 y + 20 - y 2 y = 20 - 3 y 2 y

Passo 5

Para encontrarmos o valor de   y de forma maximizar P , basta fazer d P d y = 0

d P d y = 20 - 3 y 2 y = 0  

y = 20 3

Passo 6

Usando novamente a equação do passo 1, temos o valor de x :

x + y = 20

x + 20 3 = 20

x = 40 3

Resposta

Os números são:

20 3   e   40 3

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