Enunciado

Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:

a < c = b

(Teorema dado no livro).

Passo 1

O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo a , b , e c no qual f ( x ) é integrável, teremos o resultado ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , independente da ordem de a , b , e c . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para a < c < b , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem a < c = b .

Passo 2

Se a < c = b , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Mas como b = c , temos ∫ c b f x d x = 0 e a expressão então fica:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x

Mas o resultado que queremos é:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Que é o que já temos, pois novamente ∫ c b f x d x = 0 por b ser igual a c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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