Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

0 ≤ ∫ - 1 / 2 1 / 2 cos ⁡ π x ≤ 1

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral com esse número χ no intervalo [ - 1 2 , 1 2 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ - 1 / 2 1 / 2 cos ⁡ π x = cos ⁡ π χ 1 2 - - 1 2 = cos ⁡ π χ

Pra χ ∈ [ - 1 2 , 1 2 ] teremos - π 2 ≤ π χ ≤ π 2 , valores que correspondem ao primeiro e quarto quadrantes, que tem cosseno entre 0 e 1. Assim:

0 ≤ cos ⁡ π χ ≤ 1

E então nossa integral também está entre esses valores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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