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Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) , onde g e h são as duas posições dos corredores.]

Passo 1

Vamos chamar de g ( t ) e h ( t ) a posição dos dois corredores, então nossa função é f t = g t - h ( t ) . Por hipótese, diremos que f 0 = g 0 - h 0 = 0 , e f b = g b - h b = 0 , onde b representa o tempo final.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, há um tempo c com 0 < c < b , tal que:

f ' c = f b - f 0 b - 0

Mas f b = f 0 , então f ' c = 0 .

Desde que f ' c = g ' c - h ' c = 0 , nós temos que g ' c = h ' ( c ) , portanto, no tempo c , ambos os corredores tiveram a mesma velocidade g ' c = h ' ( c ) .

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