Enunciado

  1. Se g for derivável, a Regra do Recíproco diz que:
  2. d d x 1 g x = - g ' ( x ) g x 2

    Use a Regra do quociente para demonstrar a regra do recíproco.

  3. Use a Regrado Recíproco para derivar a função do Exercício 16.
  4. Use a Regra do Recíproco para verificar que a Regra da Potência é válida para os inteiros negativos, isto é,

d d x x - n = - n x - n - 1

Para todo inteiro positivo n .

Passo 1

Olá, meu caro amigo, estarei te ajudando a resolver mais uma atividade no dia de hoje. A gente quer provar que:

d d x 1 g x = - g ' ( x ) g x 2

Utilizando a regra do quociente.

A regra do quociente, utilizada quando temos que derivar uma divisão, é dada por:

d d x f x g x = f ' g - f g ' g 2

Após isso, iremos resolver o exercício 16 com essa regra, iremos falar mais sobre ele depois, e ainda iremos realizar outra prova.

Deveremos provar que:

d d x x - n = - n x - n - 1

Utilizando a regra da reciprocidade.

Passo 2

  1. O enunciado diz que se f for derivável, então pela Regra Recíproca teremos que:
  2. d d x 1 g x =   - g ' x g x 2

    Queremos provar isso usando a Regra da Derivada do Quociente, pois a função a ser derivada é o quociente 1 g ( x ) .

    Então, temos que

    d d x 1 g x

    que é o mesmo que escrever

    1 g x '

    será dada pela Regra do Quociente assim:

    d d x f x g x = f ' g - f g ' g 2

    Aplicando:

    1 g x ' = 0 g x - 1 g ' x g x 2

    Temos então.

    1 g x ' = - g ' x g x 2  

    que é o esperado.

    Passo 3

  3. Queremos derivar a função do exercício 18 que é
  4. y = 1 s + k e s

    usando a Regra Recíproca. Vale ressaltar que k é uma constante e a nossa variável é s .

    Então, usando a Regra Recíproca temos que:

    y = 1 g s

    Onde

    g s = s + k e s

    e assim temos:

    y ' = - g ' s g s 2 = - 1 + k e s s + k e s 2

    que é igual ao resultado do exercício 18. Observe que essa regra só vale quando o numerador for igual a 1.

    Passo 4

  5. Queremos verificar a veracidade da Regra de Derivação de uma Potência, para expoentes inteiros negativos, usando a Regra Recíproca.

A Regra da Potência diz que

d d x x - n = - n x - n - 1

sendo n   um inteiro positivo (caso da potência com expoente inteiro negativo).

Então, pela Regra Recíproca temos que:

d d x x - n = d d x 1 x n = 1 x n '

sendo g x = x n e assim temos:

1 g x ' = - g ' x g x 2    

1 g x ' = 1 x n '

Aplicando a regra:

1 g x ' = - n x n - 1 x n 2

1 g x ' = - n x n - 1 x 2 n

Simplificando o quociente:

1 g x ' = - n x n - 1 - 2 n

Simplificando os termos e finalmente provando:

1 g x ' = - n x - n - 1

como era de se esperar.

Observe mais uma vez que a Regra Recíproca só é válida para funções racionais com numerador igual a 1.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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Derive:g (x) = (x + 2 sqrt(x)) e^x
Derive:f (x) = (3 x^2 + 5 x) e^x
Derive a função:y = (e^x)/(x^2)
44. Suppose that f (4) = 2 , g (4) = 5 , f^' (4) = 6 , and g^' (4) = - 3 . Findh^' (4) .(a) h (x) = 3 f (x) + 8 g (x)
44. Suppose that f (4) = 2 , g (4) = 5 , f^' (4) = 6 , and g^' (4) = - 3 . Findh^' (4) .(b) h (x) = f (x) 8 g (x)