Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.1 - Ex. 16

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Questão 16) Calcule a integral indefinida:

∫ x 5   e x 2 d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando x 5   e x 2   não aparece da forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Analisando a formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo ? vamos lá

Fazendo: F(x)= e x 2 → d e r i v a n d o → f’(x)= e x 2 2 x

g’(x)= x 5 → i n t e g r a n d o → g(x)= x 6 6

Passo 3

Substituindo na formula; temos:

∫ x 5   e x 2 dx = e x 2 x 6   6 - 1 6 ∫ x 6 e x 2 2 x dx

Note que, assim a solução não sai, pois continua complicado certo? O que fazer? Para esse problema precisa-se de uma substituição antes de usar integração por partes, façamos:

z= x 2   , logo d z d x = 2x dz= 2x dx certo? Então substitua esses passos na equação original que é

∫ x 5   e x 2 dx = ∫ ( x 2 ) 2 x e x 2 dx = ∫ ( z ) 2   e z d z 2

Veja que:

d z = 2xdx →   d z 2 = x d x → ∫ z 2 e 2 2 d z  

Passo 4

Substituindo na equação temos: ∫ z 2 e 2 2   dz = z 2 2 e 2 - ∫ z e z dz, Percebe que temos que usar mais uma vez aintegracao por partes:

∫ z e z dz F(x) =2 f’(x)= 1

g’(x)= e z G(x)= e z ,

Substituindo temos: ∫ z e z dz = 2 e z - ∫ e z dz = z e z - e z , substituindo na equação original:

∫ z 2 e 2 2   dz = z 2 e 2 2 – (2 e z - e z )

= z 2 e 2 2 – 2 e z + e z

Note que não podemos deixar em função de ‘’Z ‘’ , uma vez em que esta em função de X, então: Z= X 2 Substituindo novamente, temos

∫ x 5   e x 2 d x =   x 4 e x 2 2 - x 2 e x 2 + e x 2 + c

= e x 2 ( x 4 2 - x 2 + 1)+c.

Resposta

∫ x 5   e x 2 d x = e x 2 ( x 4 2 - x 2 + 1) + c.

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