Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.1 - Ex. 27

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Questão 27: calcule a integral indefinida

∫ 0 π 3 s e n   3 x . cos ⁡ x     d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não Note que o integrando   " s e n   3 x   .   c o s ⁡   x " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Note que devemos usar integração por partes, logo devemos fazer os termos da formula aparecer, certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja f(x) = sen 3x derivando, f’(x) = 3.cos 3x

g’(x) = cos x integrando g(x) = sen x

Substituindo na formula, temos;

∫ s e n   3 x cos ⁡ x   d x   = sen 3x . sen x - ∫ 3 . cos ⁡ 3 x   .   s e n   x   d x

Veja que esse é outro exemplo clássico onde devemos usar novamente a técnica de integração por partes, vamos lá , vamos resolver separadamente;

∫ 3 . cos ⁡ 3 x   .   s e n   x   d x

Seja f(x) = 3.cos 3x derivando f’(x) = -9.sen 3x

g’(x) = sen x integrando g(x)= - cos x

Passo 3

Substituindo;

∫ 3 . cos ⁡ 3 x   .   s e n   x   d x = - 3.cos x cos 3x - ∫ - 3 . s e n   3 x . ( cos ⁡ x )   d x

= -   3 . c o s   x     c o s   3 x +   3   �� s e n   3 x   . cos ⁡ x   d x

Substituindo esse resultado na equação principal temos;

∫ s e n   3 x cos ⁡ x   d x   = sen 3x .sen x - ( - 3.cos x . cos 3x + 3 ∫ s e n   3 x . cos ⁡ x   d x

∫ s e n   3 x cos ⁡ x   d x   = s e n   3 x   . s e n   x     +   3   c o s   x   .   c o s   3 x   +   9   ∫ s e n   3 x   . cos ⁡ x   d x

-8 ∫ s e n   3 x cos ⁡ x   d x     =   s e n   3 x   . s e n   x     +   3   c o s   x   .   c o s   3 x

∫ s e n   3 x cos ⁡ x   d x     = -   1 8   s e n   3 x   .   s e n   x   -   3 8   c o s   3 x   .   c o s   x  

Aplicando os intervalos, temos;

Passo 4

∫ 0 π 3 s e n   3 x . cos ⁡ x     d x   = -   1 8   s e n   3 x   .   s e n   x   -   3 8   c o s   3 x   .   c o s   x | π 3 0

= ( 1 8 sen   π .sen π 3 - 3 8 . cos π . cos π 3 ) - ( 1 8 sen 0 . sen 0 - 3 8 cos 0 . cos 0 ) = 9 16

Resposta

= 9 16

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