Questão 17: calcule a integral indefinida

∫ x 3 1 - x 2 dx

Passo 1

Para usar integração por partes nesse problema deve-se identificar F(x) e g’ (x) mas não é simples, veja, lembre que para usar integração por partes devemos ter no integrando um produto de duas funções. Então façamos F(x)= x 2 e g(x)= x 1 - x 2 , certo?

Passo 2

Se F(x)=   x 2 → d e r i v a n d o f’(x)= 2x

e g’(x) =         x           1 - x 2     g x = ∫ x 1 - x 2 d x , g(x)= - 1 - x 2

Passo 3

Talvez você tenha duvida no passo 2 onde integra-se x 1 - x 2 , mas

Note que ∫ x 1 - x 2   d x , resolve usando uma substituição simples, vamos lá.

∫ x 1 - x 2   d x ,

seja u= 1 - x 2 , então du= -2x -   d u 2 = x dx certo?

Substituindo temos;

1 2 ∫ - d u u = - 1 2 ∫ u - 1 2 du= - 1 2 u 1 2 1 2 = - u 1 2 = - 1 - x 2 , certo? Voltando.

Passo 4

g’(x)= x 1 - x 2 = G(x) = - 1 - x 2 ,

Substituindo na formula, temos:

∫ x 3 1 - x 2   d x = - x 2 1 - x 2 - ∫ 2 x 1 - x 2   d x

= - x 2 1 - x 2 + 2 ∫ x 1 - x 2   d x ,

Note que, 2 ∫ x 1 - x 2   d x , Sai com uma substituição simples: Sai com uma substituição simples:

Seja U= 1 - x 2 du= -2xdx 2 ∫ x 1 - x 2 dx = ∫ 1 - x 2 2x dx= ∫ u   du

= u 3 2 3 2 = - 2 3 u 3 2

Substituindo.

∫ x 3 1 - x 2   d x = - x 2 1 - x 2 - 2 3 ( 1 - x 2 ) 3 2 + c.

Resposta

∫ x 3 1 - x 2   d x = - x 2 1 - x 2 - 2 3 ( 1 - x 2 ) 3 2 + c.

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