Enunciado

Questão 17: calcule a integral indefinida

int (x^3)/(sqrt(1 - x^2)) dx

Passo 1

Para usar integração por partes nesse problema deve-se identificar F(x) e g’ (x) mas não é simples, veja, lembre que para usar integração por partes devemos ter no integrando um produto de duas funções. Então façamos F(x)= x^2 e g(x)= (x)/(sqrt(1 - x^2)) , certo?

Passo 2

Se F(x)= x^2 -> d e r i v a n d o -> f’(x)= 2x

e g’(x) = (x)/(sqrt(1 - x^2)) -> g (x) = int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x , -> g(x)= - sqrt(1 - x^2)

Passo 3

Talvez você tenha duvida no passo 2 onde integra-se (x)/(sqrt(1 - x^2)) , mas

Note que int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x , resolve usando uma substituição simples, vamos lá.

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x ,

seja u= 1 - x^2 , então du= -2x -> - (d u)/(2) = x dx certo?

Substituindo temos;

(1)/(2) int - (d u)/(sqrt(u)) = - (1)/(2) int u^((- 1)/(2)) du= - (1)/(2) (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) = - u^((1)/(2)) = - sqrt(1 - x^2) , certo? Voltando.

Passo 4

g’(x)= (x)/(sqrt(1 - x^2)) = -> G(x) = - sqrt(1 - x^2) ,

Substituindo na formula, temos:

int (x^3)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - x^2 sqrt(1 - x^2) - int 2 x sqrt(1 - x^2) d x

= - x^2 sqrt(1 - x^2) + 2 int x sqrt(1 - x^2) d x ,

Note que, 2 int x sqrt(1 - x^2) d x , Sai com uma substituição simples: Sai com uma substituição simples:

Seja U= 1 - x^2 -> du= -2xdx -> 2 int x sqrt(1 - x^2) dx = int sqrt(1 - x^2) 2x dx= int sqrt(u) du

= (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (- 2)/(3) u^((3)/(2))

Substituindo.

int (x^3)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - x^2 sqrt(1 - x^2) - (2)/(3) ( 1 - x^2 )^((3)/(2)) + c.

Resposta

int (x^3)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - x^2 sqrt(1 - x^2) - (2)/(3) ( 1 - x^2 )^((3)/(2)) + c.

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