Enunciado

Questão 19. Calcule a integral indefinida

int x^2 s e n h x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, além disso Note que o integrando x^2 s e n h x " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Esse problema possui uma estrutura simples não precisa de nada engenhoso, porem necessita que você saiba a derivada e integral de funções hiperbólicas, certo?

Analisando a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer certo ?

Fazendo os passos fundamentais da técnica de integração; faça:

F(x)= x^2 -> derivando -> f’(x)= 2x

g’(x)= senh x -> i n t e g r a n d o -> G(x)= cosh x

Passo 3

Ficou com duvida nesse passo? ‘’ g’(x)= senh x -> G(x)= cosh x ’’? Acalme-se pois ali é uma derivada notável, ou seja (d)/(d x) c o s h x = s e n h x , é semelhante a (d)/(d x) sen x = cos x , ok? (ou seja ,treinando você aprende todas “derivadas notáveis”) voltando a solução ;

usando

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx, substituindo os termos encontrado nesta formula, temos;

int x^2 s e n h x dx = x^2 cosh x - int 2 x cosh x d x

Passo 4

Note que devemos usar novamente integração por partes no ultimo termo;

int 2 x cosh x d x ”.

F(X)= X -> f’(X)= 1

g’(x)= cosh x -> G(x)= senh x , usando novamente

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx, temos

2 int x cosh x d x = 2 x s e n h x - 2 int s e n h x d x = 2 x s e n h x - 2 c o s h x

Substituindo na equação principal;

int x^2 s e n h x d x = x^2 c o s h x – 2 x s e n h x + 2 c o s h x + c .

Resposta

int x^2 s e n h x d x = x^2 c o s h x – 2 x s e n h x + 2 c o s h x + c .

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Calcule n )∫ x 3 e x 2 d x
Calcule j )∫ x e 2 x d x
Calcule h )∫ x ln ⁡ x 2 d x
Calcule o )∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x
Calcule q )∫ x 2 sin ⁡ x d x