Calcule a integral

∫ t g - 1 x x 2   d x  

Passo 1

Para calcularmos essa integral, de uma maneira mais simples, será necessário utilizar a regra de integração por partes que nos diz o seguinte

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u     ( i )

Passo 2

Pela integração por partes devemos pegar uma função para derivarmos (ela será nosso ( u ) e uma função para integrarmos ( d v ). Para o nosso caso, vamos fazer as seguintes escolhas

u = arctan ⁡ x → d u = 1 1 + x 2

d v = 1 x 2 → v = - 1 x

Substituindo em ( i ) teremos

∫ t g - 1 x x 2   d x = - arctan ⁡ x x - ∫ - d x x ⋅ ( 1 + x 2 )    

∫ t g - 1 x x 2   d x = - arctan ⁡ x x + ∫ d x x ⋅ ( 1 + x 2 )    

Para finalizarmos o problema agora, resta-nos resolver a integral ∫ d x x ⋅ ( 1 + x 2 )     que pode ser solucionada utilizando uma separação com frações parciais

∫ d x x ⋅ ( 1 + x 2 ) = ∫ 1 x - x x 2 + 1 d x  

Aplicando a linearidade da integral podemos fazer

∫ 1 x - x x 2 + 1 d x = ∫ d x x - ∫ x x 2 + 1 d x

Agora, podemos calcular as integrais de forma separada e juntar tudo ao final. Dessa forma,

i ∫ d x x   = ln ⁡ x + C

i i ∫ x x 2 + 1 d x =  

F a z e n d o   x 2 + 1 = u → x   d x = d u 2

→ ∫ d u 2 u = 1 2 ⋅ ln ⁡ u + C

Retornando a variável x temos

→ 1 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 + C

Por fim, basta juntarmos todos os resultados em uma única resposta, então,

∫ t g - 1 x x 2   d x = - arctan ⁡ x x + ∫ d x x - ∫ x x 2 + 1 d x

= - arctan ⁡ x x + ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 + C    

Resposta

- arctan ⁡ x x + ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 + C

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