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A região limitada pela curva y = sech ⁡ x , o eixo x e as retas x = ± ln ⁡ 3 é girada em tomo do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

Passo 1

O volume de um sólido girado em torno do eixo x é dado por:

V = π ∫ a b f x 2   d x

Então, o volume pedido é determinado por:

V = π ∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x   = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x

Daí, é só integrar e jogar os limites de integração:

V = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x =     2 π ( tanh ⁡ x ) ] ln ⁡ 3 0 = 2 π ( tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 ) - tanh ⁡   0 ) =   2 π tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 )  

Passo 2

Temos que a tangente hiperbólica é dada por:

tanh ⁡ x =   e x - e - x e x + e - x

Aí substituímos o valor de x = ln ⁡ 3 ...

tanh ln  ⁡ √ 3 = e ln ⁡ 3 - e - ln ⁡ 3 e ln ⁡ 3 + e - ln ⁡ 3 =   3 - 1 3 3 + 1 3 = 2 3 4 3 = 2 4 = 1 2

Agora é só voltar para a relação do volume...

V = 2 π tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 )   2 π 1 2 = π  

Resposta

V = π

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Calcule a integral definida d d x ∫ 0 x       4 + t 6     d t  
Calcule a integral definida d d x ∫ 1 x ³   t 2 + 1 3   d t   ³
Calcule a integral definida ∫ 0 4 x 3 - x 2 + 1   d x