Escrever a função comprimento de arco de:

r(t) = (cos^3 t, sen^3 t, 3/4 cos 2t)

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Derivando,

r ' → t = 3 cos 2 ⁡ t × - s e n   t ,   3 s e n 2 t × cos ⁡ t , 3 2 - s e n 2 t

Agora arrumamos um pouquinho:

r ' → t = - 3 s e n t cos 2 ⁡ t , 3 s e n 2 t cos ⁡ t ,   - 3 2 s e n 2 t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada! Nessa parte a conta pode assustar, mas vamo que vamo!

r ' → t 2 = - 3 s e n t cos 2 ⁡ t 2 + 3 s e n 2 t cos ⁡ t 2 + - 3 2 s e n 2 t 2

Desenvolvendo as contas:

r ' → t 2 = 9 s e n 2 t cos 4 ⁡ ( t ) + 9 s e n 4 t cos 2 ⁡ ( t ) + 9 4 s e n 2 ( 2 t )

Vamos transformar esse s e n ( 2 t ) em 2 s e n t c o s ⁡ ( t ) , pela fórmula do arco duplo.

r ' → t 2 = 9 s e n 2 t cos 4 ⁡ ( t ) + 9 s e n 4 t cos 2 ⁡ ( t ) + 9 4 2 s e n t cos ⁡ t 2

r ' → t 2 = 9 s e n 2 t cos 4 ⁡ t + 9 s e n 4 t cos 2 ⁡ t + 9 s e n 2 t cos 2 ⁡ t

Colocando 9 s e n 2 t cos 2 ⁡ ( t ) em evidência:

r ' → t 2 = 9 s e n 2 t cos 2 ⁡ ( t ) cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + 1

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali dentro!

r ' → t 2 = 9 s e n 2 t cos 2 ⁡ ( t ) 1 + 1

Portanto, o módulo vai ficar:

r ' → t = 3 2 s e n t c o s ⁡ ( t )

Usando de novo o arco duplo pro seno:

r ' → t = 3 2 2 s e n ( 2 t )

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t r ' → t * d t *

s t = ∫ 0 t 3 2 2 s e n 2 t * d t *

Tirando as constantes da integral:

s t = 3 2 2 ∫ 0 t s e n 2 t * d t *

E integrando:

s t = 3 2 2 - cos ⁡ 2 t 2 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 3 2 2 - cos ⁡ 2 t 2 - - cos ⁡ 0 2

s t = 3 2 2 1 - cos ⁡ 2 t 2  

E como cos ⁡ 2 t = 1 - 2 s e n 2 ( t ) :

s t = 3 2 2 s e n 2 ( t )

Fechou!

Resposta

s t = 3 2 2 s e n 2 ( t )

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