Enunciado

Reparametrize pelo comprimento de arco a curva de γ dada por:

γ t = e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t ,   t ≥ 0

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizarmos γ pelo comprimento de arco. Isto, é, partindo da equação de γ em função de t , devemos obter uma expressõa para γ em função do seu próprio comprimento s !

Passo 2

Perceba, não podemos nem falar em começar a fazer nada se não conhecermos primeiro o comprimento de γ , ou seja s t , dado por:

s t = ∫ 0 t γ ' u d u

Necessitamos resolver esta integral, o que dará trabalho! Mas não tem segredo algum, uma vez que temos γ u = e u cos ⁡ u , e u sin ⁡ u . Assim, é só calcular bastante:

γ ' u = e u cos ⁡ u - e u sin ⁡ u , e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

Dai,

γ ' u = e u cos ⁡ u - e u sin ⁡ u 2 + e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u 2

Trabalhando, finalmente obteremos

γ ' u = 2 e 2 u = 2 e u

Ou seja,

s t = ∫ 0 t 2 e u d u = 2 e t - 1

Pra não se perder nesses cálculos só sendo ninja mesmo.

Passo 3

Agora que finalmente temos s t em mãos, devemos INVERTER para achar t s .

Neste caso, não há grandes dificuldades, só trabalhar um pouquinho em cima da equação de s t que você obterá:

t s = ln ⁡ s 2 + 1

Passo 4

Em posse de t s , para sepultar a questão, faltaria apenas substituir esse valor na expressão para γ t , ou seja:

γ t s = e t s cos ⁡ t s , e t s sin ⁡ t s

Substituindo t s e simplificando ou pouquinho, o resultado final surge.

Resposta

γ s = s 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ s 2 + 1 , s 2 + 1 sin ⁡ ln ⁡ s 2 + 1

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