Enunciado

Representação decimal de e . Determine e com o máximo de casas decimais que sua calculadora permitir, resolvendo a equação ln ⁡ x = 1 pelo método de Newton visto na seção 4.7.

Passo 1

Então galera, esse método é bastante numérico e cansativo, mas não é nada muito complicado não, ok? De início, o que precisamos determinar é qual é a nossa função de fato! Segundo o enunciado, nossa função é:

f x = ln ⁡ x - 1

Agora que sabemos qual é nossa função, temos que determinar a derivada da mesma, que é:

f ' x = 1 x

O método nos diz que para encontrarmos uma aproximação para o que queremos, devemos utilizar a seguinte equação:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Essa equação nos permite obter uma primeira aproximação, depois uma segunda aproximação, depois uma terceira e assim sucessivamente até encontrarmos a aproximação mais exata possível! Escrevendo a equação acima com os dados que temos:

x n + 1 = x n - ln ⁡ x n - 1 1 x n

x n + 1 = x n - x n . ( ln ⁡ x n - 1 )

∴ x n + 1 = x n . ( 2 - ln ⁡ x n )

Passo 2

Para começarmos nossas aproximações, temos que determinar um valor inicial para x ! Vamos fazer com que o x inicial seja 1 , tudo bem? Sendo assim, teremos:

Para x 0 = 1 :

x 1 = 1 . ( 2 - ln ⁡ 1 )

x 1 = 2

Para x 1 = 2 :

x 2 = 2 . ( 2 - ln ⁡ 2 )

x 2 = 2,613705638880109381165

Para x 2 = 2,613705638880109381165 :

x 3 = 2,613705638880109381165 . ( 2 - ln ⁡ 2,613705638880109381165 )

x 3 = 2,7162439263557905432389

Para x 3 = 2,7162439263557905432389 :

x 4 = 2,7162439263557905432389 . ( 2 - ln ⁡ 2,7162439263557905432389 )

x 4 = 2,718281064358138316928

Se utilizarmos a calculadora para descobrirmos o valor de e , teremos:

e = 2,718281828459045235360

O valor que encontramos é extremamente próximo! O número de casas decimais acertivas foram 7, o que já bastante significativo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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