Enunciado

De acordo com a lei de Stefan sobre radiação, a taxa de variação da temperatura de um corpo com temperatura absoluta T é:

d T d t = k T 4 - T m 4

Em que T m é a temperatura absoluta do meio ambiente. Encontre uma solução para essa equação diferencial. Pode ser mostrado que, quando T - T m é pequena em comparação a T m , essa equação particular é aproximada pela lei de resfriamento de Newton (Equação 3 , seção 3.2).

Passo 1

Então pessoal, aqui o que precisamos fazer é resolver a equação diferencial para T , ok? A equação é a seguinte:

d T d t = k T 4 - T m 4

Isolando as variáveis:

d T T 4 - T m 4 = k d t

d T T 2 - T m 2 T 2 + T m 2 = k d t

Simplificando:

1 4 T m 3 . 1 T - T m d T - 1 4 T m 3 . 1 T + T m d T - 1 2 T m 2 . 1 T 2 + T m 2 d T = k d t

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Passo 2

Agora que isolamos as variáveis e simplificamos, vamos integrar tudo isso aí!

1 4 T m 3 ∫ 1 T - T m d T - 1 4 T m 3 ∫ 1 T + T m d T - 1 2 T m 2 ∫ 1 T 2 + T m 2 d T = k ∫ d t

O lado bom, galera, é que todas as integrais da esquerda possuem resultado pronto e tabelado! Saquem só:

1 4 T m 3 ∫ 1 T - T m d T = 1 4 T m 3 ln ⁡ T - T m + c 1

1 4 T m 3 ∫ 1 T + T m d T = 1 4 T m 3 ln ⁡ T + T m + c 2

1 2 T m 2 ∫ 1 T 2 + T m 2 d T = 1 2 T m 3 a r c tan ⁡ T T m + c 3

E a integral da direita é bem tranquila:

k ∫ d t = k t + c 4

Top!

Passo 3

Se unirmos os resultados, teremos:

1 4 T m 3 ln ⁡ T - T m - 1 4 T m 3 ln ⁡ T + T m - 1 2 T m 3 a r c tan ⁡ T T m = k t + c

Simplificando o que pudermos:

1 4 T m 3 ln ⁡ T - T m T + T m - 2 a r c tan ⁡ T T m = k t + c

∴ ln ⁡ T - T m T + T m - 2 a r c tan ⁡ T T m = 4 T m 3 k t + c

E esse é o resultado mais simplificado que conseguimos alcançar!

Resposta

ln ⁡ T - T m T + T m - 2 a r c tan ⁡ T T m = 4 T m 3 k t + c

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