Enunciado

Resolva cada equação em x :

a) l n ( ln x ) = 1

b) e^(a x) = C e^(b x) , onde a != b

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver as equações (a) l n ( ln x ) = 1 e (b) e^(a x) = C e^(b x) , onde a != b , em x . Isso significa que temos que encontrar o valor de x em cada uma delas.

Pra isso, vamos aplicar algumas propriedades de logaritmo, simplificar a nossa equação e isolar x .

Vamos lá!

Passo 2

Em (a) temos:

l n ( ln x ) = 1

Aplicando a função inversa do ln, ou seja, a função exponencial natural e^x , em ambos os lados, temos:

e^(l n ( l n x )) = e^1

Como são funções inversas, elas se cancelam e obtemos:

ln x = e

Aplicando de novo a função inversa, ficamos com:

x = e^e

Passo 3

Em (b), temos:

e^(a x) = C e^(b x) , onde a != b

Como a nossa variável está no expoente, aplicaremos de novo a função inversa, que nesse caso é o logaritmo natural:

ln (e^(a x)) = l n ( C e^(b x) )

No primeiro termo, elas se cancelam. No segundo, temos que lembrar da propriedade dos logaritmos, de modo que o logaritmo do produto possa ser escrito como a soma de logaritmos da mesma base, ou seja:

a x = ln C + ln e^(b x)

Novamente, logaritmo e exponencial se cancelam:

a x = ln C + b x

Então:

a x - b x = ln C

Colocando x em evidência:

x (a - b) = l n C

E isolando x , temos:

x = (l n C)/(a - b)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) e^e

b) x = (l n C)/(a - b)

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