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Resolva a equação diferencial.

y ' = x y e x 2

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y ' = d y d x podemos reescrever nossa equação como sendo

d y d x = x y e x 2

d y = x y e x 2   d x

d y y = x e x 2 d x

Agora, integrando ambos os lados poderemos encontrar f x = y que é nosso objetivo.

Passo 2

Aplicando o operador integral em ambos os lados vamos obter

∫ d y y = ∫ x e x 2 d x

Então, nosso problema se resume em resolver cada uma das integrais e depois isolar a variável y

i : ∫ d y y   = ln ⁡ y + C 1

i i :   ∫ x e x 2 d x

Fazendo x 2 = u → d u d x = 2 x → d u 2 = x   d x , teremos

∫ x e x 2 d x = 1 2 ⋅ ∫ e u d u = 1 2 ⋅ e u + C 2

Retornando a variável x

→   1 2 ⋅ e u + C 2 =   1 2 ⋅ e x 2 + C 2

Juntando ambos os resultados vamos chegar em

ln ⁡ y + C 1 =   1 2 ⋅ e x 2 + C 2

ln ⁡ | y | =   1 2 ⋅ e x 2 + C

Sendo C = C 2 - C 1 = c o n s t a n t e   q u a l q u e r . Aplicando a função exponencial em ambos os lados vamos ter

e ln ⁡ y = e 1 2 ⋅ e x 2 + C

y =   e [ 1 2 ⋅ e x 2 + C ]  

Resposta

y =   e [ 1 2 ⋅ e x 2 + C ]  

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