Enunciado

Resolva a equação diferencial.

100 (d^2 P)/(d t^2) + 200 (d P)/(d t) + 101 P = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

P (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

P^' (t) = A k e^(k t)

P^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

100 k^2 A e^(k t) + 200 k A e^(k t) + 101 A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

100 k^2 + 200 k + 101 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- 200 +- sqrt(( 200 )^2 - 4.100.101))/(2.100) = (- 200 +- sqrt(- 400))/(200)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (- 200 +- 20 i)/(200) = - 1 +- (1)/(10) i

Aqui encontramos duas raízes imaginárias. Isso nos dias que a solução é uma combinação linear de seno e cosseno, pesado por uma exponencial.

Se tivermos raízes do tipo k = a +- b i a solução y ( t ) vai ser:

y (t) = e^(a t) [A c o s (b t) + B s e n (b t)]

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 . Mas e os coeficientes A e B ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

Agora vamos substituir a = - 1 e b = (1)/(10) na solução ali do passo 3 :

y (t) = e^(a t) [A c o s (b t) + B s e n (b t)]

y (t) = e^(- t) [A c o s (t // 10) + B s e n (t // 10)]

É isso pessoal, espero ter ajudado =D

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = e^(- t) [A c o s (t // 10) + B s e n (t // 10)]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.2-y^(' ') - 4 y^' + 8 y = 0
Resolva a equação diferencial.8-16 y^(' ') + 24 y^' + 9 y = 0
Resolva a equação diferencial.7-4 y^(' ') + y = 0
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto têm em comum as suas soluções?15- d 2 y d x 2 - 8 d y d x + 16 y = 0
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto têm em comum as suas soluções?14- 6 d 2 y d x 2 - d y d x - 2 y = 0