Resolva a equação diferencial:

y' = (y^2 - 1)x^(-1)

Passo 1

Vamos reescrever a equação...

y ' = y 2 - 1 x - 1 → y ' = y 2 - 1 1 x

Agora a gente passa o que tem y pra um lado, e o que tem x pro outro:

y ' y 2 - 1 = 1 x → d y y 2 - 1 = d x x

Agora nós integramos os dois lados...

Passo 2

∫ d y y 2 - 1 = 1 2   ln ⁡ y - 1 y + 1    

∫ d x x = ln ⁡ x

E acrescentamos a constante C...

d y y 2 - 1 = d x x → 1 2   ln ⁡ y - 1 y + 1   = ln ⁡ x + C = ln ⁡ y - 1 y + 1 =   2 ln ⁡ x + 2 C

Vamos colocar a constante em logaritmo também: 2 C = ln ⁡ C 1 ...

  ln ⁡ y - 1 y + 1   = 2   ln ⁡ x + ln ⁡ C 1 =   ln ⁡ y - 1 y + 1   =  ln ⁡ x 2 + ln ⁡ C 1

Passo 3

Agora a gente usa as propriedades do logaritmo pra “juntar” tudo:

  ln ⁡ y - 1 y + 1   = ln ⁡ ( C 1 x 2 )

E agora a gente pode “cortar” o logaritmo dos dois lados e...

ln ⁡ y - 1 y + 1   = ln ⁡ ( C 1 x 2 ) = y - 1 y + 1   = C 1 x 2

Essa é a solução da equação diferencial.

Resposta

y - 1 y + 1   = C 1 x 2

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