Enunciado

Resolva as equações de Bernoulli nos Exercícios 29-32:

y ' - y = - y 2

Passo 1

Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

d y d x - y = - y 2

Passo 2

Percebemos que a equação acima é do tipo de Bernoulli. Disso, podemos escrever a equação de forma linear, fazendo a seguinte substituição:

u = y 1 - n

Onde n seria a ordem da EDO de Bernoulli. No caso da questão n = 2 . Assim:

u = y 1 - 2 = y - 1

u = y - 1   e que analogamente y = u - 1

Derivando ambos os lados por d d x teremos assim:

d u d x = - y - 2 d y d x   e d y d x = - u - 2 d u d x  

Substituindo na EDO original teremos:

- u - 2 d u d x - u - 1 = - u - 2

ou

- d u d x - u = - 1 ⇒ d u d x + u = 1

d u d x + u = 1

Temos aqui uma equação Linear, do tipo:

d u d x + P x u = f

Passo 3

Temos aqui uma EDO linear dada por:

d u d x + u = 1

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v x = e ∫ P ( x ) d x

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

u x = 1 v x ∫ f ⋅ v x d x + c

Onde:

P x = 1

f = 1

Passo 4

Calculando o fator integrante temos:

v x = e ∫ d x = e x

Passo 5

substituindo o fator integrante na solução da EDO, temos:

u x = 1 e x ∫ 1 ⋅ e x d t

u x = 1 e x e x + c ⇒ u x = e x e x + c e x ⇒ u x = 1 + c e x

Contudo, ainda temos que achar o valor de y . Assim:

y = 1 + c e x - 1

ou

y = 1 1 + c e x

Resposta

Logo o resultado será:

y = 1 1 + c e x

ou

y = 1 1 + c e - x

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