Enunciado

Resolva a equação diferencial.

y^(' ') - 4 y^' + y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k t) - 4 k A e^(k t) + A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

k^2 - 4 k + 1 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 4 ) +- sqrt(( - 4 )^2 - 4.1 . 1))/(2.1) = (4 +- sqrt(12))/(2)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (4 +- 2 sqrt(3))/(2) = 2 +- sqrt(3)

Aqui encontramos duas raízes reais e distintas (embora feias). Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 . Mas e o A ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y (t) = A e^(( 2 + sqrt(3) t )) + B e^(( 2 - sqrt(3) ) t)

Em um problema de valor inicial (PVI) são dadas condições iniciais (olha que nome original kkk) e daí esses coeficientes A e B podem ser determinados.

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = A e^(( 2 + sqrt(3) ) t) + B e^((2 - sqrt(3)) t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva os problemas de valor de contorno: y ' ' - 8 y ' + 17 y = 0 ,y 0 = 3 , y π = 2
Resolva os problemas de valor inicial.4 y^(' ') - 20 y^' + 25 y = 0 , y (0) = 2 , y^' (0) = - 3
Resolva os problemas de valor inicial.y^(' ') - 6 y^' + 10 y = 0 , y (0) = 2 , y^' (0) = 3
Resolva o problema de valor limite, se possível.y^(' ') + 4 y^' + 20 y = 0 , y (0) = 1 , y (pi) = 2
Resolva o problema de valor limite, se possível.4 y^(' ') - 4 y^' + y = 0 , y (0) = 4 , y (2) = 0