Resolva a equação diferencial abaixo:

dx/dt = tx/(1+t)^2

Passo 1

Okay rapaziada, a gente percebe que essa função, temos que separar as variáveis e a partir dai isolar o nossas variaveis. Primeiro a gente observa que:

d x d t = t x 1 + t 2

Isolando cada variável para o lado do seu diferenciavel:

d x * 1 + t 2   = d t * t x

Dividindo tudo por x:

d x x * 1 + t 2   = d t * t

Passando o 1 + t 2 para o outro lado:

d x x = t 1 + t 2     d t

Passo 2

Portanto, agora basta integrarmos os dois lados!! Vamos primeiro para o lado esquerdo!!

t 1 + t 2     d t →   ∫ t 1 + t 2     d t

Por tabela:

∫ t 1 + t 2     d t =   1 2 log ⁡ t 2 + 1 + k

Passo 3

Para o nosso lado direito, temos que:

d x x →   ∫ d x x   = ln ⁡ | x | + k

Agora, basta voltarmos para nossa configuração inicial:

d x x = t 1 + t 2     d t

∫ d x x   = ∫ t 1 + t 2     d t

ln ⁡ | x | + k = 1 2 log ⁡ t 2 + 1 + k

Resposta

ln ⁡ | x | + k = 1 2 log ⁡ t 2 + 1 + k

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