Determine o jacobiano da transformação.

x = u / (u + v), y = v / (u - v)

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u u + v = v u + v 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u u + v = - u u + v 2

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u v u - v = - v u - v 2

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v v u - v = u u - v 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = v u + v 2 - u u + v 2 - v u - v 2 u u - v 2 = v u + v 2 . u u - v 2 - - v u - v 2 - u u + v 2 = v u u + v 2 u - v 2 - v u u - v 2 u + v 2 = 0

Resposta

∂ x , y ∂ u , v = v u + v 2 - u u + v 2 - v u - v 2 u u - v 2 = 0

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