Resolva a equação diferencial:

sen(theta) \* dr/dtheta + cos(theta) = tan(theta) 0 < theta < pi/2

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por sin ⁡ θ , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

r ' + cos ⁡ θ sin ⁡ θ r = tan ⁡ θ sin ⁡ θ

r ' + cot ⁡ θ = sec ⁡ θ

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

r ' θ + p θ s = f ( θ )

Comparando, percebemos que p θ =   cot ⁡ θ ;   f θ = sec ⁡ θ

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u t =   e ∫ p x d x = e ∫ cot ⁡ θ d θ =   e ln ⁡ s i n θ = sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

sin ⁡ θ r ' + sin ⁡ θ cot ⁡ θ = sin ⁡ θ sec ⁡ θ

sin ⁡ θ r ' + cos ⁡ θ = tan ⁡ θ

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d r d θ sin ⁡ θ . r = tan ⁡ θ

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

sin ⁡ θ . r = ∫ tan ⁡ θ   d θ

sin ⁡ θ . r = ln ⁡ sin ⁡ θ + C

r = ln ⁡ sin ⁡ θ sin ⁡ θ + C sin ⁡ θ

Resposta

r = ln ⁡ sin ⁡ θ sin ⁡ θ + C sin ⁡ θ

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