Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Calcule o valor de:

int int int ( x^2 + y^2 ) d V

Sob E que fica entre as esferas x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 + z^2 = 9 .

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_2^3 [ (rho s e n varphi cos theta)^2 + (rho s e n varphi s e n theta)^2 ] rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_2^3 [ rho^2 s e n^2 varphi cos^2 theta + rho^2 s e n^2 varphi s e n^2 theta ] rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

Usando a relação fundamental s e n^2 x + cos^2 x = 1 , podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_2^3 ( rho^2 s e n^2 varphi ) rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi = int_0^(pi) int_0^(2 pi) int_2^3 rho^4 s e n^3 varphi d rho d theta d varphi

Passo 2

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

int_0^(pi) s e n^3 varphi d varphi int_0^(2 pi) d theta int_2^3 rho^4 d rho

Das relações fundamentais da trigonometria, temos: s e n^2 x = 1 - cos^2 x , sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi) ( 1 - cos^2 varphi ) s e n varphi d varphi int_0^(2 pi) d theta int_2^3 rho^4 d rho

Passo 3

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

int cos^x theta s e n theta

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

Nesse caso, temos x = 2 então, resolvendo a integral em varphi , temos:

int_0^(pi) - s e n varphi cos^2 varphi d varphi = [(1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi)

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

[- c o s varphi + (1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi) [theta]_0^(2 pi) [(1)/(5) rho^5]_2^3

[1 - (1)/(3) + 1 - (1)/(3)] [2 pi - 0] [(1)/(5) (3)^5 - (1)/(5) (2)^5] = ((4)/(3)) (2 pi) ((211)/(5))

Sendo assim, temos que:

int int int ( x^2 + y^2 ) d V = (1688 pi)/(15)

Resposta

int int int ( x^2 + y^2 ) d V = (1688 pi)/(15)

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Um modelo para a densidade δ da atmosfera terrestre próxima à superfície é δ = 619,09 - 0,000097 ρ onde ρ (a distância do centro da Terra) é medido em metros e δ é medido em quilogramos por metro cúbi
Identifique a superfície com a equação dada.
Use coordenadas esféricas.
Descreva em palavras a superfície com a equação dada.
Esboce o sólido descrito pelas inequações: