Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 23
Use coordenadas esféricas.
Passo 1
Calcule o valor de:
Sob E que fica entre as esferas e .
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Analisando a região dada no enunciado, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:
Usando a relação fundamental , podemos reescrever a integral como:
Passo 2
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Das relações fundamentais da trigonometria, temos: , sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Antes de resolver a integral, devemos notar que, para , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos então, resolvendo a integral em , temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Sendo assim, temos que: