Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y ' =     ( 2   c o s   2 x ) / ( 3   + 2 y )   , y 0 = - 1

e determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição: y '   = d y d x

Assim, temos:

d y d x =   ( 2   c o s   2 x ) / ( 3   + 2 y )

3 + 2 y   d y = ( 2   c o s   2 x )   d x

Passo 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ 3 + 2 y   d y =   ∫ ( 2   c o s   2 x )   d x

3 y   + y 2 + c = s e n   2 x + c '

3 y   + y 2 = s e n   2 x + C

No enunciado há uma informação de que y 0 = - 1 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

3 y   + y 2 = s e n   2 x + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

3   .   ( - 1 )   + ( - 1 ) 2 = s e n   ( 2   .   0 ) + C

C   = - 2

Assim, a equação é:

3 y   + y 2 = s e n   2 x   -   2

Passo 3

Completando quadrado na equação acima, temos:

y   =   -   3 / 2   +   s e n   2 x   +   1 / 4  

E temos que a solução será definida quando o seno de 2x obter seu valor máximo que é 1, ou seja quando x   =   π / 4 .

Resposta

3 y   + y 2 = s e n   2 x   -   2 Ou y   =   -   3 / 2   +   s e n   2 x   +   1 / 4  

x   =   π / 4

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