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Resolva o problema de valor inicial.

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0 ,       y π = 0 ,   y ' π = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

A solução é:

y x = A e k x

As derivadas primeira e segunda:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - 2 k A e k x + 5 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 - 2 k + 5 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . 5 2.1

k = 2 ± 4 - 20 2 = 2 ± - 16 2 = 2 ± 4 i 2

k = 1 ± 2 i

As raízes são complexas k = α ± β i e assim a solução é do tipo: y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x . Beleza? Aqui achamos α = 1 e β = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y x = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Bora lá!

Passo 4

A primeira condição de contorno nos diz que   y π = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y π = e π c 1 cos ⁡ 2 π + c 2 s e n 2 π = 0

Sendo assim temos:

e π c 1 . 1 + c 2 . 0 = 0

Dalí tiramos o valor de c 1 :

e π c 1 = 0 ∴ c 1 = 0

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):

y ' x = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x + e x - 2 c 1 sen ⁡ 2 x + 2 c 2 c o s 2 x

A condição de contorno nos diz que y ' π = 2 , então fazendo x = π temos:

e π c 1 cos ⁡ 2 π + c 2 s e n 2 π + e π - 2 c 1 sen ⁡ 2 π + 2 c 2 c o s 2 π = 2

E simplificando temos:

e π c 1 . 1 + c 2 . 0 + e π - 2 c 1 . 0 + 2 c 2 . 1 = 2

Mas sabemos que c 1 = 0 , então ficamos com uma expressão apenas para c 2 :

2 e π c 2 = 2   ∴ c 2 = 1 / e π

Agora temos como determinar por completo a solução:

y x = e x 0 . cos ⁡ 2 x + 1 / e π s e n 2 x

y x = e x e π   s e n 2 x = e x - π s e n ( 2 x )

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = e x - π s e n ( 2 x )

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Calcule a e b: f ) i + 1 2 i - 1 2 = a + b i  
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Resolva a equação diferencial. 2 d 2 y d t 2 + 2 2 d y d t - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,