Resolva o problema de valor inicial:

y dx + (3x - xy + 2) dy = 0, y(2) = -1, y < 0

Passo 1

Vamos dividir tudo por y   d y ...

d x d y + ( 3 x - x y + 2 ) y = 0

d x d y + 3 x y - x = - 2 y

d x d y + 3 y - 1 x =   - 2 y

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P y ...

O P ( y ) é     3 y - 1     certo? Então vamos integrar isso...

∫ 3 y - 1   d y → 3 ln ⁡ y - y  

O fator integrante então é:

v y = e 3 ln ⁡ y   - y = y 3 e - y

Passo 2

Agora a gente multiplica ambos os lados da equação d x d y + 3 y - 1 x =   - 2 y

Pelo fator integrante y 3 e - y :

y 3 e - y x ' + y 3 e - y 3 y - 1 x =   - 2 y 2 e - y

y 3 e - y x = ∫ - 2 y 2 e - y d y = 2 e - y y 2 + 2 y + 2 + C

y 3 = 2 y 2 + 2 y + 2 + C e y x

Falta achar o valor da constante C agora...

Passo 3

Como y 2 = - 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

- 1 =   2 1 - 2 + 2 + C e - 1 2

C =   - 4 e

Então a solução da equação é:

y 3 = 2 y 2 + 2 y + 2 - 4 e y + 1 x

Resposta

y 3 = 2 y 2 + 2 y + 2 - 4 e y + 1 x

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